“我们假设一个简单的高维积分问题，计算一个可以表示为期望的积分I(g)，先通过有限求和Im(g)来逼近。
若改用蒙特卡洛办法，从特定的独立同分布的抽样样本中选择N个样本，则有恒等式E(I(g)- Im(g))^2 = var(g)/N， var(g)= Eg^2 -(Eg)^2)
这告诉我们收敛速度与维度无关。”
“若我们先用传统傅里叶变换，再用均匀的离散傅里叶变换来逼近。其误差则~m^-a/d，必然被维度所影响。
可，若一个函数可以表示成期望的形式，而令所有样本为独立同分布样本，则有拟合差值为var(f)/m，与维度无关。
若将两层神经网络写作该形式，则意味着，这一类期望函数均可由两层神经网络逼近，且其逼近速度与维度无关。”
“让我们转向离散动力系统的视角，举一个随机控制问题。
动力模型Zl+1 = Zl + g1(z1，a1)+ n，其中z为状态，a为控制信号，n为噪声。若我们想寻找一个反馈控制信号函数，而通过求解动态规划贝尔曼方程，则必然会遭遇维度灾难问题。
该过程的性质，其实与残差网络等同。
..................”
“最后，我总结。深度学习根本上是高维中的数学问题。神经网络是高维函数逼近的有效手段，而残差网络则是更加容易优化的高维函数。
这意味着：数学处于科技创新的真正前沿，并且对新领域产生直接冲击。同时也为人工智能领域、科学以及技术领域提供了众多新的可能性。”
韩辞总共讲述的时间大约是孟繁岐的两倍，讲述完成之后，更是被几位老学究抓着反复提问，讨论。
半晌，主持人才找到机会重新登台，把孟繁岐又请了上去。
主持人看上去年纪不大，大约三十岁左右，估计是斯坦福的在读博士生或者刚毕业的讲师。
为人相当活跃，看热闹的不嫌事大，他将孟繁岐重新请上来之后，还开了一句玩笑。
“这次演讲本来是你的舞台，现在却被韩辞小姐抢去了不少风头和关注，不知道你作何感受？”
孟繁岐笑着接过话筒，等台下的笑声稍稍平息一些过后，十分大方地回答道，“我们专注应用方面的人，依靠得是代码说话。虽然我今天丝毫没有提到技术的实现和细节，但我想看了我代码的大家，都已经感受到了我的万语千言。”
台下的不少程序员闻言马上开始起哄，口哨声和呼声此起彼伏。
“我的梦想是自己的技术可以广泛地应用到世界各地，让AI智能就如空气一般，每个人都无法缺少，但在生活当中却又很少会注意到它们的存在。
至于AI的理论研究和探索，可能就要拜托韩辞和大家了。”
这一番话还算是谦逊得体，意料之中地迎来全场的掌声。
台下诸人又再分别向两人问了一些问题之后，会议的主要流程也算是走完。
除了公开询问的问题，不少人也有很多私下里才方便的问的事情要询问两人。
于是乎，在场的不少人就自然而然地分成了应用与理论两个派别。
一派以科技巨头，例如杰夫为首，围在孟繁岐周边讨论他出色成果的应用场景，市场潜力还有落地难点。
而另一派则以牛津大学的几位老学究为首，一群理论派，表情严肃，正在严谨地讨论一些设想和它们的理论证明。
以会场中心的走廊为分界线，一群人在左，一群人在右。
倒是一幅意外有趣的画面。
不同领域的交叉地带，一向是出成果的捷径。
台上，韩辞的讲述仍在继续。
在她看来，只要墙脚挖的好，没有学生找不到，“她导师是谁？”
“鄂维南院士。”孟繁岐突然想到，李飞飞本科是普林斯顿的，搞不好和鄂维南有点交集。
鄂维南上世纪末开始在普林斯顿教过应用数学和计算数学，那段时间差不多正好是李飞飞在读本科的时候。
纯数学只要不解决大难题，终究是难出成果的，而搭上AI现在飞速发展的顺风车，则前途一片光明。
比如韩辞现在在讲述的残差思想，在数学和物理界都算不上什么高深的东西。
可结合孟繁岐的应用成果来展示，则大大的加分，意义非凡。
而在听孟繁岐实验上的世界级突破时虽然赞叹，却没有这种由衷的兴奋。
对于醉心于理论的人来说，搞懂这个现象的理论原因到底是什么，远比做出影响世界的技术应用更加重要，也更加有吸引力。
也正是这种好奇心和对真理的探索，造就了人类一次次文明与技术的突破。
“行，我去想想办法，把她拐到这边来交流几年。”李飞飞嘿嘿一笑。虽然当年与鄂维南不熟，但怎么也算是听过对方课的，也算是半个学生。
在她看来，韩辞在AI数学和优化问题方面大有可为。
“她是燕京大学的，现在已经读了研究生了。”孟繁岐言下之意是，韩辞已经有导师了。
“她应该是搞应用数学的吧。”李飞飞可不像辛顿一样，恪守礼节。
之所以会添加这些数理推衍，主要是因为早期的AI届仍旧相当看重这方面的论证。
这也是为什么那几个老学究听到韩辞内容的时候眼里放光，口中赞叹不绝。
而孟繁岐在今后的论文当中，涉及理论的部分也只会越来越少，会更加注重工业应用方面的难点和内容。
“她是谁？你的同学吗？”辛顿听了韩辞对孟繁岐残差思想的解释之后，觉得思路一下子打开了不少。
如果从动力系统视角构建等价性，那数学和物理界的很多概念都可以引入进来，事情就大有可为了。
只是很遗憾的，在AI这条道路上，偏理论的方向注定会坎坷异常。
至少直至2023-2024年左右，仍旧没有什么像样的突破。
AI技术是比较少见的应用远大于理论的学科，但并非是没有理论。
孟繁岐目前为止产出的所有技术，其论文当中还是有这许多理论方面的论证和推衍的。
不过这部分内容大都源自于与付院长的讨论，属于是锦上添花，并非是孟繁岐的本意。
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